3097: Hash Killer I

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special Judge

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[][][]

Description

这天天气不错，hzhwcmhf神犇给VFleaKing出了一道题：

给你一个长度为N的字符串S，求有多少个不同的长度为L的子串。

子串的定义是S[l]、S[l + 1]、... S[r]这样连续的一段。

两个字符串被认为是不同的当且仅当某个位置上的字符不同。

VFleaKing一看觉得这不是Hash的裸题么！于是果断写了哈希 + 排序。

而hzhwcmhf神犇心里自然知道，这题就是后缀数组的height中 < L的个数 + 1，就是后缀自动机上代表的长度区间包含L的结点个数，就是后缀树深度为L的结点的数量。

但是hzhwcmhf神犇看了看VFleaKing的做法表示非常汗。于是想卡掉他。

VFleaKing使用的是字典序哈希，其代码大致如下：

u64 val = 0;

for (int i = 0; i < l; i++)

 val = val * base + s[i] - 'a';

u64是无符号int64，范围是[0, 2^64)。VFleaKing让val自然溢出。

base是一个常量，VFleaKing会根据心情决定其值。

VFleaKing还求出来了base ^ l，即base的l次方，这样就能方便地求出所有长度为L的子串的哈希值。

然后VFleaKing给哈希值排序，去重，求出有多少个不同的哈希值，把这个数作为结果。

其算法的C++代码如下：

typedef unsigned long long u64;

const int MaxN = 100000;

inline int hash_handle(const char *s, const int &n, const int &l, const int &base)

{

 u64 hash_pow_l = 1;

 for (int i = 1; i <= l; i++)

  hash_pow_l *= base;

 int li_n = 0;

 static u64 li[MaxN];

 u64 val = 0;

 for (int i = 0; i < l; i++)

  val = val * base + s[i] - 'a';

 li[li_n++] = val;

 for (int i = l; i < n; i++)

 {

  val = val * base + s[i] - 'a';

  val -= (s[i - l] - 'a') * hash_pow_l;

  li[li_n++] = val;

 }

 sort(li, li + li_n);

 li_n = unique(li, li + li_n) - li;

 return li_n;

}

hzhwcmhf当然知道怎么卡啦！但是他想考考你。

Input

没有输入。

Output

你需要输出一组数据使得VFleaKing的代码WA掉。我们会使用Special Judge检查你的结果的正确性。

输出文件共两行。

第一行两个用空格隔开的数n、l。

第二行是一个长度为n的字符串。只能包含'a'~'z'。

需要保证1 <= n <= 10^5, 1 <= l <= n，

不符合以上格式会WA。

不要有多余字符，很可能导致你WA。

Sample Input

没有

Sample Output

8 4

buaabuaa

（当然这个输出是会WA的）

HINT

orz 波兰人 & fotile96 & sillycross

Source

题目链接：

分析：此题乍一眼看没怎么看懂，后来分析了一下，此题为构造题！

非常神奇的构造题。

首先明白两点：

1.卡hash的关键在于构造两个不同的串对应的hash值相同。

2.爆u64相当于对2^64这个数取模。

如果base是偶数，那么a.........aaa(>64个a)与ba.......aa(a的数量为前面那么串a的数量-1)，这两个串长度相同，hash值相同，显然串是不同的，这样就卡掉了。

如果base是奇数，就比较麻烦了。

看vfk的做法吧：

a \ b表示a能整除b。（orz 具体数学）

strA . strB

代表字符串串联。如"娃" . "哈哈" = "娃哈哈"

设字符串序列{orzstr[i]}，orzstr[1] = "a", orzstr[i] = orzstr[i - 1] . not(orzstr[i - 1])

设hash(str)为str的哈希值。

hash(orzstr[i]) = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ |not(orzstr[i - 1])| + hash(not(orzstr[i - 1]))

                       = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))

hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1])

   hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

= (hash(orzstr[i - 1]) - hash(not(orzstr[i - 1]))) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

hash(not(orzstr[i]))似乎是个神奇的东西。而我们的目的实际上是要找两个字符串strA, strB使得

相当与

设数列{f[i]}，f[i] = 

hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

f[i] = f[i - 1] * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1

f[i] = f[i - 1] * g[i - 1]

然后发现一个神奇的事情？

问题是不是结束了呢……发现没有……这样的话我们要使2 ^ 64 \ f[i]，至少得让i = 65……然后发现|orzstr[65]|是个天文数字。

i > 1时有：

base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1 = (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) + 1) = g[i - 1] * 一个偶数

那么4 \ g[2]，8 \ g[3]...

所以f[i] 实际上有：

2 ^ (i * (i - 1) / 2) \ f[i]

这就是卡base为奇数时的方法。orzstr[12]和not(orzstr[12])即为所求。

 

而读入中base既有奇数又有偶数，直接在奇数构造的字符串后面加64个a就可以了。

下面给出AC代码：

1 #include
     
       2 using namespace std; 3 int a[500001]; 4 int main() 5 { 6      int len=1; 7      a[1]=1; 8      int i; 9      while(len<=100000)10      {11           for(i=1;i<=len;i++)12           {13                if(a[i]==1)14                     a[i+len]=0;15                else16                     a[i+len]=1;17           }18           len=len*2;19      }20      printf("100000 10000\n");21      for(i=1;i<=100000;i++)22      {23           if(a[i]==1)24                printf("a");25           else26                printf("b");27      }28      printf("\n");29      return 0;30 }